Ralph Grimaldi "Matemáticas Discreta y Combinatoria"

http://books.google.com.uy/books?id=lHqqjoR0b1YC&printsec=frontcover&dq=matematicas+discreta+y+combinatoria&source=bl&ots=gQrZgsSe_o&sig=ecV729kKNbu7jobE_NBIrkTf9uk&hl=es&ei=ttfyS7XdG4KB8gaOpujZDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6&ved=0CCkQ6AEwBQ#v=onepage&q&f=false

link para enunciados y proposiciones

http://www.ite.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/01concbasicos/111propos.html

Pensamiento lógico

EL PENSAMIENTO LOGICO

ESTUDIAREMOS CÓMO ENFOCA LA LÓGICA AL PENSAMIENTO Y LA PROFUNDIDAD DE DICHA CIENCIA DE LA LÓGICA, EN LOS TÉRMINOS MAS GENERALES. ESTE ARTICULO PRETENDE SER UN RESUMEN Y RECOLECCION DE LOS TEMAS MAS IMPORTANTES DE LA LOGICA BÁSICA.

EL PENSAMIENTO

"Pensamiento. Término genérico que indica un conjunto de actividades mentales tales como el razonamiento, la abstracción, la generalización, etc. cuyas finalidades son, entre otras, la resolución de problemas, la adopción de decisiones y la representación de la realidad externa." (PROYECTO SALÓN-HOGAR)

La corriente mas aceptada en el tiempo actual es considerar que el pensamiento es posible en diversas especies de seres vivos, y que dicha función está directamente relacionada con la complejidad del sistema nervioso en dichas especies. Se sabe que los delfines, los perros, los caballos, los primates superiores (antropoides) y el homo sapiens, por supuesto, son poseedores de las habilidades típicas del pensamiento.

EL LENGUAJE

El lenguaje es el método mas natural para la transmisión del pensamiento. Esto sucede no solo en el ser humano. Algunos experimentos científicos han logrado enseñar "lenguaje de señas" a gorilas, y en otros se pretende descifrar el lenguaje de los delfines, ballenas y otros mamíferos de gran capacidad cerebral.

Entre los primates ya se observa una diversificación en cuanto a tipos de lenguaje; el chillido, su modulación, está asociado a distintos eventos del entorno natural; los gestos, rascarse, mostrar los dientes de cierta forma, blandir cosas, constituye otro sistema de signos muy útil.

El homo sapiens dió un salto cualitativo al inventar el lenguaje escrito, el arte, y en consecuencia logró formar la cultura. A partir de la formación de las culturas humanas, podemos enterarnos de las PREOCUPACIONES que han sido centro de debate en las distintas sociedades y civilizaciones del pasado y del presente.

JUICIO LOGICO

Se le llama JUICIO a la parte mental del pensamiento lógico. Un JUICIO es parte de una actividad mas general que anteriormente hemos llamado PENSAMIENTO. Al decir que es la parte mental del pensamiento, estamos expresando que el JUICIO todavía no ha sido expresado en ninguna forma perceptible por los demas individuos, no ha sido hablado, escrito o representado de ninguna forma.

PROPOSICION LOGICA

Se le llama así, a una parte estructural del juicio, esencialmente a un razonamiento que puede aislarse y estudiarse, tanto en su forma (que es lo que pretende la LOGICA) como en su sintaxis dentro del proceso mas general del juicio (lo cual es estudiado por la METODOLOGIA CIENTIFICA).

ENUNCIADO LOGICO

Se le llama así, a una proposición lógica que ha sido simbolizada e incorporada dentro de un todo lógico, para su análisis. Un enunciado lógico puede tener solamente dos valores: VERDADERO o FALSO. Dicho valor debe ser independiente de su forma y de su relación con los demás enunciados.

A la inversa, un enunciado lógico debe tener una forma tal, que pueda ser reducido a dos clases de elementos constituyentes: sus PARTICULAS LOGICAS (conectivas, cuantificadores) y sus PARTICULAS FACTICAS.

LOGICA SENTENCIAL

Es la rama de la lógica que considera a los enunciados (o sentencias) como unidades, y estudia sus combinaciones, las cuales vienen a ser representaciones de los JUICIOS LÓGICOS.

La lógica sentencial utiliza un lenguaje lógico que contiene símbolos para representar enunciados, símbolos para representar funciones y relaciones entre enunciados, tablas para el cálculo de los valores de verdad de las combinaciones de enunciados, partículas lógicas que permiten la combinación de enunciados, y una jerarquía mínima de dichas combinaciones o fórmulas lógicas.

Esta jerarquía mínima aplicada sobre las fórmulas lógicas tiene tres categorías: TAUTOLOGIAS (fórmulas que son verdaderas en todas sus posibilidades), CONTINGENCIAS (fórmulas que pueden ser verdaderas o falsas en todas sus posibilidades), y CONTRADICCIONES (fórmulas que son falsas en todas sus combinaciones).

El propósito de la lógica científica es el hallazgo primario de TAUTOLOGIAS dentro de los discursos.

ANÁLISIS DEDUCTIVO

Es el proceso lógico para comprender y explicar cómo y cuándo pueden unas fórmulas lógicas derivarse de otras. Se llama PRUEBA al proceso por el cual unas fórmulas se combinan con otras, para formar una última.

Una PRUEBA es un procedimiento mímino, en el cual pueden visualizarse varias reglas, que se llamarán REGLAS DE INFERENCIA. De acuerdo a estas reglas se tendrán PRUEBAS CORRECTAS y PRUEBAS INCORRECTAS.

Se llaman FALACIAS a las combinaciones incorrectas de fórmulas lógicas dentro de un proceso de PRUEBA.

Las REGLAS DE INFERENCIA establecen como puede concluir una PRUEBA a partir de las características de sus enunciados premisas. Estas reglas se han llamado: REGLA DE LA SEPARACION, REGLA DE LA UNION, REGLA DE LA INSERCION, REGLA DEL INTERCAMBIO.

ESQUEMAS CUANTIFICACIONALES

Hagamos distinción entre dos clases de enunciados: los que contienen un solo argumento, y los que contienen dos o mas argumentos. El primer tipo se llama ESQUEMA MONÁDICO, y el segundo tipo se llama POLIADICO.

Fx, o F(x), es el símbolo de un esquema monádico, en el cual F es una letra predicado, que contiene una propiedad, y x es la letra argumento, que contiene el ente sobre el cual cae la propiedad.

Por ejemplo: "TIKAL ES UNA URBE MAYA", enunciado en el cual F = "SER UNA URBE", mientras que x = "TIKAL", es el argumento.
Fxyz..., o F(x, y, z, ....), es la símbologia usual de un esquema poliádico, en el cual F es la letra predicado, que contiene una propiedad, y x, y, z son las letras argumentos, sobre las cuales recae la propiedad.

Ejemplo: "TIKAL, CARACOL Y COPAN SON URBES MAYAS", F vuelve a ser el predicado "SER UNA URBE", mientras que TIKAL, CARACOL Y COPAN son los argumentos, representados por x, y, z.
Algunos esquemas cuantificacionales MONADICOS, no podrán extenderse para ser POLIADICOS. Por ejemplo: "PEDRO DE ALVARADO CONQUISTO A LOS QUICHES". Esto es así porque la propiedad "CONQUISTAR A LOS QUICHES" se aplica únicamente a PEDRO DE ALVARADO.

Algunos esquemas cuantificacionales POLIADICOS, no podran reducirse para ser POLIADICOS. Por ejemplo: "LOS ORGANISMOS EJECUTIVO, LEGISLATIVO Y JUDICIAL GOBIERNAN EL PAIS", la propiedad "GOBERNAR EL PAIS" no puede reducirse a la posesión por un solo organismo, sea el que fuere, pues es una propiedad compartida en todo tiempo.

Sin embargo, la propiedad "SER UNA URBE MAYA", si puede reducirse o extenderse para formar esquemas ya sea MONADICOS o POLIADICOS.

CUANTIFICADORES

Se llaman CUANTIFICADORES UNIVERSALES a partículas como "TODOS...", "NINGUN...", "PARA TODO...".

Se llaman CUANTIFICADORES EXISTENCIALES a partículas como "ALGUNOS...", "EXISTE ALGUN...".

Los cuantificadores permitieron a los primeros lógicos establecer diversos tipos de enunciados o sentencias, de la siguiente forma:

TIPO A: "TODOS LOS S SON P", que es el modelo de un enunciado universal afirmativo
TIPO E: "NINGUN S ES P", que es el modelo de un enunciado universal negativo.
TIPO I: "ALGUN S ES P", que es el modelo de un enunciado particular afirmativo.
TIPO O: "ALGUN S NO ES P", que es el modelo de un enunciado particular negativo.
Si en LOGICA SENTENCIAL, el propósito es encontrar las fórmulas que siempre son verdaderas o TAUTOLOGIAS, en la LÓGICA CUANTIFICACIONAL se pretende encontrar los ESQUEMAS VALIDOS y sus negaciones, que serán llamados ESQUEMAS CONTRA-VALIDOS.

Dichos esquemas son análogos a las fórmulas lógicas, y de hecho pueden traducirse a fórmulas lógicas que tienen cierta forma constante. Entre estos esquemas válidos, se encuentran los llamados SILOGISMOS CATEGÓRICOS. Estos los enfocaremos posteriormente. Insertando los distintos tipos de enunciados cuantificados, A, E, I, O, se obtienen distintos "modos" del silogismo categórico. Estos modos fueron inicialmente el objeto de estudio de la lógica clásica.

Estos "modos" contienen el orden en que se pueden combinar estos enunciados cuantificados.

Los "modos" así establecidos se arreglan en "figuras":

PRIMERA FIGURA
BARBARA
CELARENT
DARII
FERIO

SEGUNDA FIGURA
CESARE
CAMESTRES
FESTINO
BAROCO

TERCERA FIGURA
DATISI
FERISO
DISAMIS
BOCARDO

CUARTA FIGURA
CALEMES
FRESISON
DIMATIS

Esta lista debe leerse como este ejemplo: BARBARA:

BARBARA contiene las letras A, A, A, que corresponden al TIPO A: "TODOS LOS S SON P". El silogismo tiene la forma "SI A Y A, ENTONCES A".

LA IDENTIDAD

Al introducir el signo de identidad "=", es posible aplicar todas las leyes de la lógica de los cuantificadores, aunque la lectura de ambos grupos de enunciados (de identidad contrastados con los de cuantificación) no pueden considerarse derivado el uno del otro.

Existen muchas interpretaciones para el signo "=": en algunos casos el discurso que lo usa habla de la propiedad de IDENTIDAD TOTAL, en otros casos se usa en el sentido de la PERTENENCIA A UNA CLASE.

Se pueden establecer 4 maneras de entablar la identidad entre dos entidades:

LA IDENTIDAD EN EL SENTIDO DE "SER IDÉNTICO A", RELACIONANDO UN ENTE CON OTRO: usa el signo "=".
LA PERTENENCIA, EN EL SENTIDO DE LA RELACION DE UN ENTE CON SU CLASE: usa el signo E
LA INCLUSIÓN, EN EL SENTIDO DE ENCAJAR UNA CLASE EN OTRA: utiliza el signo C
EL SER, EN EL SENTIDO DE LA PREDICACION, CUANDO SE DICE QUE UN ENTE, O UNA CLASE TIENE UNA PROPIEDAD ESPECÍFICA: utiliza el signo Fx
LAS CLASES Y LOS CONJUNTOS

Las clases se originan de ESQUEMAS CUANTIFICACIONALES aplicados sobre un único argumento (MONÁDICOS).

"En un esquema cuantificacional monádico, un predicado queda ligado a un argumento. "Maximiliano corre" es ahora simbolizado comoo Fx en que el argumento x es reemplazado por Maximiliano y F reemplaza a correr."

"La proposición "los perros son mamíferos", se interpreta como "Todos los individuos que pertenecen a la clase de los perros pertenecen a la clase de los mamíferos", dicho de otra forma: la clase de los mamíferos incluye a la clase de los perros."

"Por clase entenderemos el concepto de "una propiedad aplicada a determinadas entidades". En la clase lógica no interesa cuántas entidades reciben, admiten o sostienen esa propiedad. Cualquier individuo del universo (lógico) queda definido por pertenecer o no pertenecer a una clase."

En el lenguaje de la matemática se definen ciertas entidades llamadas CONJUNTOS, en las que sus miembros, sean reales o abstractos, tienen una o mas propiedades en común. Sin embargo, en la matemática si puede ser importante conocer cuántas entidades pertenecen a una clase particular.

LAS RELACIONES

Las relaciones se originan de ESQUEMAS CUANTIFICACIONALES aplicados sobre dos o mas argumentos (POLIÁDICOS).

Como esquema relacional típico presentamos: "Pepe ama a María", es ahora simbolizado como Rab, donde R es la relación que simboliza "amar a"; a es Pepe y b es María. Nótese que no es lo mismo que Rba, pues sería "María ama a Pepe".

Las relaciones, de manera análoga a las clases, tienen un ALGEBRA, y de ellas pueden deducirse propiedades cuando se les descubre en otros niveles de entidades lógicas-

TIPOS DE RELACIONES EN LOS QUE INTERESA LA CUANTIFICACION

RELACIONES DE UNO A MUCHOS: un relacionante y muchos relacionados.
RELACIONES DE MUCHOS A UNO: muchos relacionantes y un solo relacionado
RELACIONES DE UNO A UNO: para cada relacionante, hay un solo relacionado. No importa cuántos relacionantes existan.
TIPOS DE PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

Las relaciones son importantes en el pensamiento lógico, hasta donde hemos definido la profundidad del interés de la lógica en la organización de dicha capacidad natural de ciertas especies de seres vivientes. Entendemos que la capacidad de pensar no es privativa del ser humano, aunque no conocemos que tan complejo pueda ser el pensamiento de otras especies vivientes.

Se podrán definir las siguientes propiedades de las relaciones:

REFLEXIVIDAD, cuando una entidad está en relación consigo misma, en el contexto de una relación espécifica.
IRREFLEXIVIDAD, cuando no hay reflexividad en la relación.
ANTIRREFLEXIVIDAD O NO REFLEXIVIDAD, cuando no hay ni reflexividad ni irreflexividad en una relación.
SIMETRIA, cuando un relacionante puede cambiar de lugar con el relacionado, y el relacionado con el relacionante.
ASIMETRIA, cuando dada el relacionado no puede cambiar de lugar con el relacionante.
ANTISIMETRIA, cuando en una relación no hay ni simetría ni asimetría.
TRANSITIVIDAD, cuando la relación de un ente sobre otro, y de este segundo sobre un tercero, lleva la consecuencia de la relación del primer ente sobre el tercero.
INTRANSITIVIDAD, cuando no es posible establecer la transitividad.
NO TRANSITIVIDAD, cuando no existe ni transitividad ni intransitividad en una relación.
LOGICA CUANTIFICACIONAL SUPERIOR

En la matemática es poco lo que puede hacerse si no existe una lógica de la cuantificación, los símbolos de predicados lógicos (F, G, etc...) pueden construirse esquemas cuantificacionales monádicos (para analizar CLASES) y esquemas cuantificacionales poliádicos (para analizar RELACIONES) quedan restringidos si no pasan a formar parte de una lógica cuantificacional.

En la lógica cuantificacional estos símbolos pueden pasar a considerarse argumentos.

Todos los enunciados de las ciencias naturales son sujetos de estudio de la lógica cuantificacional.

Los símbolos de la lógica cuantificacional extendida son:

SIMBOLOS PRIMITIVOS

Símbolos para denotar enunciados.
Símbolos para denotar individuos, que ahora se llamarán VARIABLES.
Símbolos para denotar PROPIEDADES, que ahora se llamarán VARIABLES PREDICADOS.
La conectiva de NEGACION LOGICA
La conectiva de SUMA LOGICA, O DISYUNCION INCLUSIVA
SIMBOLOS DEFINIDOS

La conectiva de PRODUCTO LOGICO, O CONJUNCION
La conectiva del CONDICIONAL
La conectiva de la ANTIVALENCIA, O DISYUNCION EXCLUSIVA
La conectiva de la BICONDICIONAL
La conectiva del PRODUCTO DE RELACIONES
La conectiva del PRODUCTO DE PROPIEDADES DE RELACIONES
El cuantificador existencial E
PENSAMIENTOS CIRCULARES, FALACIAS Y PARADOJAS

Como todo modelo de la actividad humana, la LOGICA NO ES PERFECTA, y por lo tanto dentro de las teorias lógicas existen contradicciones, inconsistencias y pruebas mal planteadas, no resueltas y que generan confusión entre quienes se alimentan de dichas teorías, sin adquirir primero las herramientas para analizar dichas teorías.

El estudio de estas inconsistencias y fallos de las teorías científicas también es del interés de la LÓGICA.

Fuentes de consulta: 1) WIKIPEDIA.ORG, 2) JOSE FERRATER MORA Y HUGHES LEBLANC (1955)

Autor Jose Guardado, Lima-Guatemala, 2007.

Introducción

1. INTRODUCCIÓN

“Al ver que el ojo, la mano, el pie y cada uno de nuestros miembros tiene una función obvia, ¿no debemos creer, de igual modo, que un ser humano tiene una función por encima y más allá de esas funciones particulares?”
Aristóteles, “Ética a Nicómaco”

1 INTRODUCCIÓN

1.1 Un poco de Historia

1.2 Lenguajes Naturales y Formales

1.3 Razonamiento Lógico

1.4 Conceptos Lógico Filosóficos

14.1 Los principios Lógicos
14.2 El Concepto
1.4.3 Categorías
1.4.4 Argumento y Argumentación
1.4.5 Argumento deductivo(válido y no válido)
1.4.6 Argumento inductivo (fuerte y débil)
1.4.7 Argumento Sólido
1.4.8 Prueba
1.4.9 Contra-argumento
14.10 La Verdad lógica
1.4.11 Falsedad lógica
1.4.12 Tautología
1.4.13 Contradicción
1.4.14 Contingencia
1.4.15 Paradojas
14.16 Forma Lógica y Expresiones Lógicas
1.4.17 Definición de la Lógica



1.5 Sistemas Lógico Formales
15.1 Primera Aproximación
15.2 Ejemplos

1.6 Ejercicios para Realizar Colaborativamente


1.1 Un poco de Historia

Desde los presocráticos se manejó una serie de principios lógicos que aseguraban su conocimiento, tales como la unidad en el origen, los de la demostración, verificación, separación e interpenetración de los opuestos, etc. El mismo Sócrates y los sofistas coincidieron en un análisis de la argumentación válida. Platón continuó la misma línea formulando el principio de la no contradicción. Sin embargo, Aristóteles fue el que creó la lógica como ciencia y como órgano mental para la investigación, al que concibió deductivamente. Fue este último uno de los primeros que intentara codificar la manera correcta de pensar, es decir, encontrar una forma la cual produjera procesos de pensamiento irrefutables. Sus famosos silogismos son esquemas de estructuras de argumentación mediante los que siempre se llega a conclusiones correctas, si se parte de premisas correctas. Por ejemplo: “Sócrates en un hombre; todos los hombres son mortales; por lo tanto, Sócrates es mortal”. Dichas leyes del pensamiento debían gobernar la manera de operar de la mente. Así se inauguró el campo de la lógica.
En la recuperación cultural del siglo XI medieval, la dialéctica ocupó lugar preferente en los estudios teológicos y universitarios que nacían. Pedro Hispano(1220-1277) y Raimundo Lulio(1233-1315) se propusieron el uso de símbolos en la conceptualización.
Es en el Renacimiento y el racionalismo cuando gente como Galileo Galilei, Francisco Bacon(1561-1626), Descartes y Spinoza se levantan en contra de la lógica aristotélica buscando superar sus “insuficiencias”, ya que las demandas del capitalismo naciente requiere de invenciones, experimentos, etc., cosas que la lógica tradicional no puede dar, por lo que tiende a abandonarse en beneficio del desarrollo de la ciencia experimental. Bacon crea su Nuevo Organon, más apropiado que el aristotétilo para la investigación de la naturaleza. Descartes escribe sus ”Reglas para la Dirección del Espíritu” y su “Discurso del Método”. Todo esto con el objetivo de formalizar matemáticamente el estudio de la ciencia. Por ello, frases como la de Galileo: “La naturaleza es un libro escrito en caracteres matemáticos” impregnan todo el medio científico.
El intento más serio para matematizar el pensamiento se da en el siglo XVII de nuestra era, con la filosofía inglesa, por medio de Gottfried Leibniz (1646-1716), que busca superar el equívoco, la metáfora y la anfibología del lenguaje, que impide la comunicación objetiva y lleva a muchos errores, construyendo su obra “Lingua philosophica o Característica Universalis” con la cual busca realizar la Mathesis Universalis de Descartes. En esta obra, Leibniz, impulsado por el desarrollo técnico-científico que exige el capitalismo colonialista fundamentado en la matemática, crea un lenguaje artificial cuya estructura pretende ser un espejo de la estructura del pensamiento. Aunque Leibniz no es el fundador de la lógica matemática, ya que sus escritos sobre lógica fueron publicados hasta 1901, sus intentos de construcción de cálculos formales sentaron un precedente serio al respecto.
Kant inauguró una nueva manera de entender la lógica a la par del conocimiento legal; y distinguió entre lógica formal y lógica trscendental. Hegel(1770-1831) definió la lógica como la dialéctica del concepto.
Pero, las condiciones materiales y teórico-científicas que permitieron el surgimiento de la lógica matemática se dan hasta el siglo xix cuando la matemática hizo grandes progresos. El descubrimiento de las geometrías no Euclideas revolucionó la concepción que los matemáticos tenían acerca de la relación entre la matemática y el mundo real. George Boole y Augusto de Morgan mostraron en 1847 el parentesco de las operaciones lógica con las matemáticas, y formularon los principios del razonamiento simbólico y del análisis.
George Boole (1815-1864) desarrolla la llamada álgebra lógica que consta de álgebra de clases(álgebra booleana) y del álgebra de relaciones binarias. Boole subraya la similitud de la estructura de ciertas leyes de la lógica matemática al publicar, en 1847, su obra revolucionaria “The Mathematicall Análisis of Logic”. Con este trabajo se abandona la vieja problemática cognoscitiva acerca de “las esencias” para hacer énfasis en lo casuístico de “la estructura” o relaciones dadas en un conjunto de objetos, apartándose sólo del campo general de la filosofía sino también del tradicional “arte del razonamiento”. A partir de este momento, la humanidad alcanza lo que por siglos ha buscado crear: la matematización de la realidad, la expresión matemática de la naturaleza. A partir de este momento la lógica matemática emprende el vuelo con pensadores como George Cantor con su teoría de conjuntos, la cual arroja un poco de luz sobre el esquivo concepto del infinito.
Sin embargo es Gottlob Frege, con sus trabajos titulados Begriffschrift (1879) y Die Grundlagen der Arithmetik (1884), el primero que comienza a explicar la matemática a partir de la lógica. La obra de Frege no recibió inicialmente mucha atención, hasta que Bertrand Russell, a principios de nuestro siglo, puso de relieve el verdadero significado de dichas obras. Bertrand Russell y A. N. Whitehead, inspirados en la obra de Frege, publicaron los “Principia Matemática” en 1910, la cual es considerada la obra fundamental de la Escuela Logicista estableciendo la síntesis de lógica y matemática, al definir la primera como la ciencia de todas las operaciones conceptuales posibles. Bertrand Russell trata de evitar las paradojas surgidas de la teoría de los conjuntos de Cantor, para ello asocia a los conjuntos un tipo, iniciando así una teoría de los tipos. La teoría de los tipos de los “Principia Mathematica” resultó demasiado compleja, y aunque se hicieron diversos trabajos para simplificarla, muchos matemáticos se inclinaron a favor de otras posibilidades de fundamentación, en particular favorecieron la fundamentación de la matemática a partir de las teorías axiomáticas de los conjuntos de Zermelo y otros.
David Hilbert, para rescatar a la llamada matemática clásica, propuso un programa, que bosquejó en 1904, y comenzó a desarrollar, junto con sus colaboradores, a partir de 1925. Hilbert proponía desarrollar la matemática formalmente, partiendo de un sistema de axiomas, y mediante el uso de las reglas de inferencia de la lógica clásica. Por otra parte se demostraría la consistencia de la teoría obtenida de esa manera; en caso que se obtuviera una demostración de consistencia, entonces no importaría ni el tipo de reglas empleadas ni las posibles interpretaciones de la teoría. Su concepto clave era el de sistema formal. Un sistema forma no es nada más que un conjunto de secuencias de símbolos que se construyen con base a unas reglas determinadas. Estas secuencias representan realidades de las matemáticas. Hay ciertas secuencias iniciales, axiomas, que se aceptan como verdades y con base a estas secuencias, se deducen todas las otras. Cualquier secuencia que se deduzca de los axiomas en un teorema, y cualquier secuencia que no lo haga es una proposición no demostrable, y es falsa si el sistema formal representa la realidad. Así pues, Hilbert pretendía hallar un sistema formal axiomático que permitiese fundamentar las matemáticas liberándolas de contradicciones.
Pero sucedió que en 1931 Gödel publicó su Teorema de Incompletitud, el cual demostraba que este objetivo era inalcanzable. El teorema de Gödel decía que no puede formularse un sistema formal suficientemente potente que sea a su vez consistente y completo- Suficientemente potente significa que en el sistema contenga en sus reglas y axiomas la aritmética de números naturales. Gödel demostró que en un sistema de este tipo siempre existirá una proposición sobre los números naturales que es verdadera pero que no puede ser demostrada dentro del sistema. En otras palabras, en cualquier sistema formal que contenga la aritmética de números naturales, siempre hay una proposición indecidible. El teorema de Gödel señalaba límites inherentes a la matemática y eliminaba la pretensión de adquirir un conocimiento completo y cierto. Entonces, nuestra concepción del mundo tuvo forzosamente que cambiar.
Poco después, paralelamente a la aparición de los primeros computadores, aparecieron los primeros intentos de trasladar los resultados del Teorema de Gödel a otras disciplinas como las ciencias de la mente y las ciencias de la computación. Parecería que esta máquinas, sujetas a reglas como los sistemas formales, deberían tener ciertas limitaciones que los humanos no tendríamos necesariamente que tener.

1.2 Lenguajes Naturales y Formales

“La única necesidad que existe es la necesidad lógica y del mismo modo que la única imposibilidad que existe es la necesidad lógica, así también la única imposibilidad que existe es la imposibilidad lógica.... La lógica configura el ámbito dentro del cual podemos describir el mundo. La lógica es el boceto del mundo”
Wittgenstein

Existen dos tipos básicos y reconocidos de lenguajes: los lenguajes naturales y los lenguajes formales. Los primeros como el Francés, el Inglés o el Castellano, tienen su origen y desarrollo natural, es decir, sin el control de ninguna teoría. Estas, las teorías de lenguajes naturales y las gramáticas, fueron establecidas a priori, esto es, después de que el lenguaje había ya madurado. Por otro lado, los lenguajes formales como la matemática y la lógica, fueron desarrollados generalmente a través del establecimiento de una teoría, la cual le da las bases para dichos lenguajes. El objetivo de esta sección es definir las características distinguibles más importantes entre estas dos clases de lenguajes y, presentar las razones que predisponen a los investigadores a la consideración de la posibilidad de la existencia de principios comunes a ambos. Esto nos hará establecer los fundamentos de una teoría cuya meta es permitir la traducción (o la expresión) de un lenguaje natural o formal a un lenguaje formal particular llamado el lenguaje de la lógica. La última meta de este proceso, al final del curso, es el poder manejar y procesar los lenguajes naturales y formales usando técnicas de computación como por ejemplo, los pioneros en investigaciones de IA, los lenguajes Prolog y Lisp.
En un lenguaje se tiene que los elementos más simples son los símbolos llamados letras, las que constituyen un alfabeto, lo cual es un conjunto finito de símbolos. Por medio de la concatenación de las letras formaremos palabras que determinan un conjunto. Este conjunto de palabras, las cuales tienen unos significados(semántica) constituirán el diccionario del lenguaje, por ejemplo el Diccionario de la Real Academia Española. A partir de lo anterior, tendremos que un lenguaje se considera como un conjunto de oraciones, que teóricamente es infinito y, se forma con palabras del diccionario.
El lenguaje Castellano puede ser definido como el conjunto (teóricamente infinito) de todas las oraciones en Castellano. Esas oraciones son consistentes en forma natural con la experiencia práctica humana la cual a través de siglos ha organizado el lenguaje en sí mismo. Una oración en Castellano es una secuencia finita de palabras del Castellano, donde sabemos que el conjunto de esas palabras es finito. Una oración en Castellano puede ser considerada como una secuencia finita de elementos tomados de un conjunto finito dado, sin embargo, no todas las combinaciones de palabras son permitidas, es necesario que esas combinaciones sean correctas (con respecto a una sintaxis) y tengan sentido (con respecto a la semántica), estas serán las que se encontrarán dentro de un diccionario. Esa sintaxis y esa semántica constituyen un orden en la teoría del lenguaje Castellano: Aquel que permite la definición de todas las oraciones en Castellano y así, del lenguaje Castellano.
De la particularización anterior se desprende que en un lenguaje natural, como el Castellano, la formación de las oraciones del lenguaje precedió la formalización del lenguaje por medio de una teoría o una gramática. Por esta razón, un lenguaje es llamado natural lo que es decir, es no-artificial o no construido. El calificativo ``natural", se opone al de ``formal", el cual determina un lenguaje que es construido estableciendo una teoría y, por ende, se le llamará artificial. Un lenguaje formal como la Lógica consiste de un conjunto de oraciones generalmente llamadas fórmulas u expresiones bien formadas, las cuales podemos obtener de la aplicación de las leyes de la Lógica. La calificación de ``Lenguaje Artificial", se refiere al hecho de que el lenguaje se forma por medio de reglas y axiomas de formación.
El calificativo ``formal" se refiere específicamente al hecho de que las oraciones de estos Lenguajes consisten de una lista de símbolos (lógicos o matemáticos) sujetos a diversas interpretaciones. Por otro lado, en los lenguajes naturales las palabras en una oración poseen un significado y tienen su significante. Esto quiere decir que independientemente del significado de cada palabra, debemos tomar en cuenta el sentido correcto que éstas adquieren, según el contexto en las que se expresen en un momento dado. Una de las metas en computación es poder especificar rigurosamente estos significados por los métodos de interpretación de los sistemas formales. Estos métodos en cuestión, constituyen las semánticas del lenguaje formal.
En un primer intento resulta que los lenguajes naturales y formales, difieren significativamente uno de otro, tanto por su origen como por su área de aplicación. Primeramente vamos a intentar identificar las propiedades más importantes de estos dos tipos de lenguajes, con el fin de examinar una de las preguntas fundamentales de la pretendida ciencia, la actual Inteligencia Artificial (IA): ¿Hasta que punto pueden los lenguajes naturales ser representados (traducidos) por medio de lenguajes formales? ; mas específicamente, ¿Estaremos interesados en la utilización de lenguajes computacionales intentando representar y manipular lenguajes naturales? Y claro que si.
El lenguaje es la función que expresa pensamientos y comunicaciones entre la gente. Esta función es llevada a cabo por medio de señales y vocablos (voz) y posiblemente por signos escritos (escritura) que conforman el lenguaje natural. Con respecto a nuestro mundo, el lenguaje nos permite designar las cosas actuales (y razonar acerca de ellas) y crear significados. Contrariamente a lo que ciertas teorías lingüísticas formales harían a uno creer, el lenguaje natural no fue fundamentado sobre una verdad racional a priori, pero fue desarrollado y organizado a partir de la experiencia humana, en el mismo proceso en que la experiencia humana fue organizada. En su forma actual, los lenguajes naturales tienen un gran poder expresivo y pueden ser utilizados para analizar situaciones altamente complejas y razonar muy sutilmente. La riqueza de su componente semántico y su cerrada relación con los aspectos prácticos de los contextos en los cuales son usados da a los lenguajes naturales su gran poder expresivo y su valor como una herramienta para razonamiento sutil.
En este curso veremos cuan difícil es formalizar el componente semántico de un lenguaje natural, es decir el constituyente del lenguaje por el cual las oraciones tienen o adquieren su significado. Por otro lado, la sintaxis de un lenguaje natural puede ser modelada fácilmente por un lenguaje formal similar a los utilizados en la matemática y la lógica. Otra propiedad única de los lenguajes naturales es la 'polisemántica', es decir, la posibilidad de que una palabra en una oración tenga diversos significados, diversos valores los cuales dependen mucho del contexto en que se exprese ella. El carácter polisemántico de un lenguaje tiende a incrementar la riqueza de su componente semántico, más aun, esto hace la formalización difícil, sino imposible. La polisemántica de los lenguajes naturales es considerada una propiedad adquirida recientemente, las formas primarias de los lenguajes naturales habrían sido similares a los lenguajes formales y la polisemántica sería el resultado de un enriquecimiento progresivo en el desarrollo evolutivo del homo sapiens. En resumen los lenguajes naturales se distinguen por las siguientes propiedades:

 Desarrollados por enriquecimiento progresivo antes de cualquier intento de formación de una teoría.
 La importancia de su carácter expresivo debido grandemente a la riqueza del componente semántico (polisemántica.)
 Dificultad o imposibilidad de una formalización completa.

La definición (es decir su axiomática) de una teoría de un lenguaje formal dado, precedió la formación de oraciones (o fórmulas) de este lenguaje. Observe entonces que el proceso de generación y desarrollo de un lenguaje formal es inverso con respecto al de los lenguajes naturales, consecuentemente, las palabras y las oraciones de un lenguaje formal son perfectamente definidas (una palabra mantiene el mismo significado prescindiendo de contexto o uso.) Adicionalmente, el significado de los símbolos es determinado exclusivamente por la sintaxis, sin referencia a ningún contenido semántico. Una función y una fórmula pueden designar cualquier cosa, solamente los operadores y relaciones que nos permiten escribir una fórmula como la igualdad, desigualdad, pertenencia, no pertenencia, conectivos lógicos y operadores algebraicos, tienen significados especiales.
Los lenguajes formales son, por esto, necesariamente exentos de cualquier componente semántico, fuera de sus operadores y relaciones, y es gracias a esta ausencia de significado especial que los lenguajes formales pueden ser usados pare modelar una teoría de cualquiera de las ciencias y técnicas que hemos desarrollado los humanos. Durante la concepción de lenguajes formales toda la ambigüedad debe ser eliminada, es como si esta reducción al significado único, se manifestara por si misma como la eliminación del 'mundo de significados' en el proceso de construir las fórmulas; al tiempo que se toca el nivel abstracto de estas construcciones.
Es solamente por medio de un paso adicional que el significado es asignado a las fórmulas, este paso nos permite la posibilidad de asignar un criterio falso/ cierto a cada fórmula. El mundo de significados, que es el componente semántico, solamente existe en la teoría que uno intenta expresar a través del lenguaje formal.
Una de las principales metas en IA es la manipulación de lenguajes con métodos de las ciencias de la computación, manipulación basada en la asignación del componente semántico de los lenguajes naturales a ciertos lenguajes lógicos como los lenguajes de primer orden o los lenguajes modales.
En los lenguajes formales es de gran importancia los números. En un sistema numérico, así como en un sistema de cálculo, los números siempre tienen el potencial de referirse a un cierto contenido, el cual pertenecerá de este modo al componente semántico del lenguaje: los objetos posibles cuando son contables o mensurables. Esta asociación de un significado con un número o cálculo no es siempre obvio, sin embargo, es útil recordar que en física cuando se completa un cálculo y se busca entonces interpretarlo, solamente se mantienen los números positivos de los resultados, ya que las soluciones negativas o imaginarias a las ecuaciones que se supone describen la realidad son la mayoría de las veces rechazadas porque no corresponden con la 'realidad física'.
Finalmente, digamos que un metalenguaje es un lenguaje que se utiliza para hablar o teorizar sobre algún otro lenguaje. Así por ejemplo, cuando utilizamos el Español para definir el lenguaje de la lógica de primer orden, el Español será el metalenguaje utilizado para hablar del lenguaje de la lógica de primer orden, y éste último se llama el lenguaje objeto en ese contexto.

1.3 Razonamiento Lógico

“Parece, en efecto, corresponder a la lógica, una peculiar profundidad, una significación universal. La lógica yace, o eso parece, en el fondo de todas las ciencias. Porque la reflexión lógica explora la esencia de todas las cosas. Quiere ver las cosas en su fondo, sin ocuparse de si de hecho las cosas suceden de tal modo. Surge ella, no de un interés por los hechos de la naturaleza, ni de la exigencia de aprehender las conexiones causales, sino de una aspiración a comprender el fundamento, o esencia, de todo lo empírico. Pero no como si para ello hubiéramos de rastrear hechos nuevos; es esencial a nuestra investigación que nada nuevo queremos aprender con ella. Queremos entender algo que está ya ante nuestros ojos. Porque es eso lo que en algún sentido nos parece que no comprendemos”
Wittgenstein

Lógica es la disciplina que trata de los métodos del razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado.
El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación, para verificar si son o no correctos los programas y para demostrar teoremas; en las ciencias físicas y naturales, para sacar conclusiones de experimentos, y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se utiliza constantemente el razonamiento lógico.
Una diferencia fundamental entre lenguaje natural y un lenguaje lógico que debe ser tomada en cuenta en la representación del primero, es aquella que resulta del lugar central ocupado por el concepto de verdad en la lógica. El rol del análisis lógico es sobre todo determinar si una oración (fórmula) de un lenguaje es válida(verdadera en todas sus interpretaciones), absurda (falsa en todas sus interpretaciones) o simplemente consistente (verdadera en al menos una de sus interpretaciones.
Un buen número de oraciones en un lenguaje natural son estatutos no declarativos, vagos o indeterminados como ¿Entendió Pablo?, Juan es joven, puedo venir, a las cuales parece en principio, difícil asignar valores de verdad (verdadero ó falso.) Una forma de desviar la dificultad resultante de la importancia dada, o no, a el concepto de la verdad de una oración es introducir las nociones de proposición y proposición expresada.
Una proposición es el contenido de una oración, es decir, el conjunto de situaciones (mundos posibles) en las cuales la oración es verdadera. El concepto de proposición toma en cuenta el hecho de que una importante función del lenguaje natural es referir objetos y situaciones, esto es interpretar cada oración del lenguaje como un fragmento de la realidad.
El valor de verdad de una proposición depende, por lo anterior, no solamente de las relaciones entre las palabras del lenguaje los objetos en el mundo sino también de el estado del mundo y del conocimiento acerca de ese estado. El valor de verdad de la oración 'Pablo corre' depende no solamente de la persona denotada en 'Pablo' y el significado del verbo 'correr', sino también del momento cuando esta oración es expresada. Pablo probablemente corre ahora, pero ciertamente que no siempre corre.
El valor de verdad de la oración: Pedro piensa que Pablo corre, depende del conocimiento de Pedro. Si trasladamos el lenguaje natural, interpretado necesariamente como realidad, a un lenguaje lógico, este último toma automáticamente esta interpretación.
Debemos todavía garantizar la completa formalización de esta interpretación con una semántica formal tal como podrían ser los mundos posibles. Finalmente el análisis de verdad de las oraciones de este lenguaje lógico nos permite razonar acerca de la realidad que representa. No es siempre necesario que un agente sea capaz de decir si una oración que él expresa es verdadera o falsa con respecto a cierto estado de la realidad, un lenguaje no debe ser reducido a la sola función de referirse a un mundo real o posible. La formalización de un lenguaje natural por medio de un lenguaje lógico exige que este último sea suficientemente expresivo para reflejar todas las sutilezas del primero, en otras palabras, estos lenguajes lógicos deben ser capaces de reflejar, en la formalización, todas las funciones extra-referencia del lenguaje, las cuales son por lo regular, mucho más complejas que las funciones que referencia. De este modo por proposición expresada entendemos el sentido específico de la proposición, independientemente de cualquier análisis de verdad, es decir de valor semántico.
Las dificultades inherentes en la representación de lenguajes naturales por medio de un lenguaje lógico no ocurren en el proceso de traducción de un lenguaje formal dentro de uno lógico. Como las oraciones de la lógica, los estatutos matemáticos no dependen del contexto en el cual son establecidos. Uno de los problemas cruciales en la representación de un lenguaje natural por la lógica, llamado el problema de la referenciación, desaparece en este caso.
Una de las metas históricas de la representación del discurso matemático en forma lógica, fue ciertamente, hacer posible beneficiarse del rigor y precisión del lenguaje lógico en la fundamentación y desarrollo de ciertas partes de las matemáticas, por ejemplo, Gödel tenia esta perspectiva cuando formalizó la teoría de conjuntos por medio de un número finito de fórmulas lógicas de primer orden.
El término lógica estándar es un término genérico usado para referirse en cualquier lógica diferente a las lógicas clásicas proposicionales o de predicados. Las lógicas no clásicas pueden ser divididas en dos grupos: aquellas que compiten con la lógica clásica y aquellas que la generalizan, en el primer grupo encontramos las lógicas multivaluadas, lógica parcial, lógica libre, lógica intuicionista y lógica difusa; en el segundo grupo encontramos las lógicas modales que se especializan en lógica temporal, lógica dinámica y otras. Las lógicas que extienden la lógica clásica son caracterizadas por teoremas que generalizan los de la lógica clásica. Una lógica debe constar de lo siguiente:

• Un sistema formal para describir lo que está sucediendo en un momento determinado, y que a su vez debe constar de una sintaxis para el lenguaje, el cual explique cómo construir oraciones y de una semántica del lenguaje, la cual especifique las restricciones sistemáticas sobre cómo se relacionan las oraciones con aquello que está sucediendo, y
• Un conjunto de reglas para deducir las implicaciones de un conjunto de oraciones, es decir una teoría de la demostración.

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.

1.4 Conceptos Lógico Filosóficos

“…El concepto de la cosa y su realidad se mueven a la par, parecido a dos asíntotas que se aproximan constantemente la una a la otra, pero que, sin embargo, nunca coinciden. Esta diferencia entre ambos es, precisamente, la diferencia debido a la cual el concepto no es la realidad directa e inmediata y la realidad no es el concepto directo del mismo. ... ”
Federico Engels.

“Pues así como uno puede sentirse seguro de que una cadena es resistente cuando está seguro de que cada eslabón separado es de buen material y que se enlaza con los dos eslabones vecinos, a saber, con el que lo precede y con el que le sigue, así también podemos estar seguros de al exactitud del razonamiento cuando su materia es buena, es decir, cuando nada dudoso entra en él, y cuando la forma consiste en una perpetua concatenación de verdades que no dejan ninguna grieta”

“Considero la invención de la forma de los silogismos como una de las más hermosas, y también una de las más importantes hechas por el espíritu humano”
Gottfried Leibniz

“Hubo un gran avance den el conocimiento del universo cuando la humanidad descubrió que las nubes, el vapor, la lluvia y el hielo eran todos agua; o que el cielo y la tierra, concebidos hasta entonces como sustancias diferentes y opuestas, eran realmente lo mismo. El descubrimiento de que todos los seres vivientes, desde los organismos unicelulares al ser humano, tienen la misma formación, revolucionó a la biología. La física se conmocionó con la demostración de que todo movimiento mecánico podía ser convertido en otro y por lo tanto todos eran esencialmente idénticos.”
George Novack en “Introducción a la Lógica Marxista”

1.4.1 Los Principios Lógicos

Principio de razón suficiente: La naturaleza no puede ser irrazonable, ni la razón contraria a la naturaleza. De aquí que el principio de razón suficiente plantee: todo lo que existe debe tener una razón necesaria y suficiente de existencia, lo que nos coloca en la situación de que todo efecto tiene una causa, una razón de ser. Y esta razón puede ser descubierta y comunicada a los demás. Este principio fue formulado en 1646 por Gottfried Leibniz, el gran lógico, matemático y filósofo alemán. Las bases materiales de esta ley residen en la auténtica interdependencia de todas las cosas y en sus interacciones recíprocas. Esto significa que todo está ligado a algo que es su razón de ser, su causa. El principio de razón suficiente exige además, que sé de razón de la verdad o falsedad de los objetos o fenómenos.

Principio de identidad: El principio de identidad se formula de diferentes formas, pero, en esencia nos dice lo siguiente: una cosa es igual o idéntica a sí misma. En términos algebraicos: A es igual a A. ¡Así de sencillo! Este principio nos lleva a reconocer lo igual en la diversidad, la permanencia en los cambios, a separar las similitudes básicas entre las cosas y fenómenos, entre entidades separadas y aparentemente diferentes, a descubrir los lazos que en realidad las unen, a trazar las conexiones entre fases diferentes y consecutivas de los mismos fenómenos. Lo que nos conduce a ver que una cosa es siempre, y bajo cualquier condición, igual o idéntica a sí misma. En conclusión: si A es siempre igual a A, nunca será no A.

Principio de contradicción: El principio de identidad es explicitado en el principio lógico de contradicción el cual dice: A no es no A. Principio que es la formulación negativa de la afirmación expresada en el segundo principio; es su complemento especial.

Principio de tercero excluido: La exclusión recíproca de identidad y diferencia tiene su corolario en el principio de tercero excluido que dice: o A es A o no A, pero no ambas. De acuerdo con este principio las cosas son o no son y deben ser una de dos mutuamente excluyentes, no hay una tercera opción. Este principio del tercero excluido es una combinación de los dos principios anteriores y surge de ellos.

1.4.2 El concepto

El concepto es la forma fundamental de la ciencia y la forma fundamental por la que se expresa la razón, el pensamiento; por ello dice Kant: “Todo conocimiento, es decir, toda representación referida conscientemente a un objeto, es intuición o concepto… Conocer por conceptos es pensar (cognitio discursiva)…” Concepto es la representación de un objeto en el plano de la razón sin afirmar ni negar nada de él. Hegel escribió: “La verdad… es el acuerdo del objeto consigo mismo, es decir, con su concepto.” El concepto por ser la forma universal, reflejo mental de lo esencial de ese universo determinado, no se puede imaginar, porque se encuentra en un nivel superior de conocimiento. Ya no está en el nivel de lo sensible, ni en el de la representación, de la intuición, sino en el nivel de la razón, lo universal. Es importante no confundir la palabra con el concepto. La palabra es la cobertura material del pensamiento y se expresa en sonidos o signos. Toda palabra tiene su propio significado, que incluso puede ser múltiple. El concepto, en cambio, por ser la determinación de lo real, lo universal, tiene un solo significado. El concepto se expresa en palabras, pero las palabras no son conceptos.
Aclarado lo precedente, tenemos entonces que cuando nuestro sujeto(o agente en IA), ya en posesión de su concepto, por ejemplo, pedernal, se encuentre una roca, lo primero que hace es comparar, experimenta, si esta roca cumple con los requisitos que le impone su concepto, la ley universal, o no los cumple; es decir, inicia el camino inverso de cuando construyó el concepto. Ahora aplicará esa ley a los casos particulares, a la individualidad, deducción, para determinarlos de acuerdo con la ley, porque el concepto es la verdad, puesto que su contenido es adecuado a su forma. El concepto como verdad, como ley, crea la realidad, determina qué es y qué no es esa realidad. Y al determinar qué es y qué no la verdad, borra su forma inmediata, lo que ha provocado que en el pasado muchos pensadores creyeran que el concepto tenía una independencia absoluta de la realidad, por ejemplo Platón, al grado de que lo llevaron a la categoría de forma eterna que dominaba la misma vida, sin percatarse de que el concepto es producto de la actividad humana. Producto que llegó, en su manifestación individualista, a dominar a sus propios productores, como es el caso de los conceptos: Dios, dinero, etc. En este sentido, el concepto tiene algo de ficción. Pero si bien es cierto que el concepto se aparta de la vida inmediata, lo hace con el fin de entenderla con mayor profundidad y en este sentido aproximarse más a ella, por lo que su independencia es relativa.

1.4.3 Categorías

De su origen etimológico, categoría quiere decir atribuir una cualidad a un sujeto. Según Aristóteles, las categorías son conceptos genéricos de máxima extensión, de las que se derivan todas nuestras ideas. La primera clasificación que se elaboró de las categorías, fue precisamente de Aristóteles, y perduró hasta Emmanuel Kant en el siglo XVIII. Este filósofo, con sus observaciones críticas, consideró a las categorías como las formas puras a priori del pensamiento y cuya función consiste en ordenar las representaciones, en una sola común. En la postmodernidad la clasificación que hace el materialismo dialéctico de las categorías, con los ingredientes anteriores, es la siguiente:

 Sustancia y accidente. Es el elemento o elementos que permiten que una cosa sea lo que es.
 Identidad: Todo proceso necesita identificarse consigo mismo para poder llegar a diferenciarse de los otros procesos y poder de esta forma ser determinado. Identidad que vale como abstracción, porque ningún proceso puede ser considerado idéntico a sí mismo, como absolutamente constante en medio de la mutabilidad.
 Diversificación. Lo diverso se opone a lo idéntico, diferenciándose por sus contradicciones. Al tiempo que se identifica consigo mismo, se distingue de los otros procesos por la negación en que consiste su propia relación. Pero, a la vez, este aspecto idéntico se muda de sí mismo constantemente, contradiciéndose en su determinación y transformándose en un aspecto diverso.
 Antagonismo: En el mundo no hay cosas ni fenómenos que sean absolutamente idénticos. Cuando hablamos de semejanza e identidad de unos objetos comparándolos entre sí, su propia igualdad presupone que son diferentes, distintos en algo, ya que de otra forma pierde todo su sentido compararlos. Y esto significa que la simple confrontación externa de dos cosas es al mismo tiempo idéntica a otra y diferente de otra.
 Movimiento: Si decimos que lo idéntico deja de ser idéntico para pasar a un nuevo estado, esto implica un movimiento, el paso de un estado a otro. Y en este mismo sentido tenemos que la existencia objetiva del universo se manifiesta como existencia de la materia en movimiento. El movimiento es el proceso en el cual se opera la transición continua del tiempo en el espacio y de éste en tiempo.
 Espacio: El espacio constituye la propiedad común a todos los procesos y donde las cualidades conocidas y cuantificadas se manifiestan como cualidades espaciales. Las tres dimensiones del espacio son objetivas, puesto que toda determinación del universo las incluye necesariamente.
 Tiempo: Las propiedades específicas del tiempo son sus monodimensionalidad y la irreversibilidad. El tiempo fluye en una sola dirección simple y en un sentido único. En el curso del tiempo distinguimos el pasado, el presente y el futuro, dentro de su desenvolvimiento en un sentido definido y en un orden que no es intercambiable.
 Magnitud: Esta se manifiesta de dos maneras: como cantidad y como medida. La propiedad fundamental de la magnitud es la de ser susceptible al aumento y a la disminución. En consecuencia, las magnitudes se conectan entre sí por medio de la desigualdad. Por ello, las magnitudes son irreflexibles, ya que su relación característica no se puede aplicar a una magnitud aislada, puesto que la magnitud no puede ser mayor ni menor que sí misma. Así cuando la magnitud se particulariza se convierte en cantidad y, con esta transformación, cambia también las relaciones de comparación, puesto que las cantidades se pueden enlazar, por las relaciones de igualdad.
 Cantidad: La propiedad fundamental de la cantidad es la igualdad, que se realiza cuando dos cantidades tienen la misma magnitud. Otra de sus cualidades es la reflexividad, ya que su relación se puede aplicar a una misma cantidad, al ser igual a sí misma. También es simétrica al estar relacionadas dos cantidades, dado que cuando una cantidad es igual a otra, entonces ésta es igual a la primera, por lo que podemos decir que la relación entre dos cantidades es constante. Igualmente la relación entre dos cantidades en transitiva, ya que la determinación de la igualdad entre dos cantidades y entre una de estas con una tercera, se concluye la igualdad entre las cantidades. Sobre las relaciones y sus propiedades volveremos en el próximo curso de Matemática Discreta.
 Posibilidad: La posibilidad es la anticipación de los enlaces de un proceso basada en los conocimientos anteriores y exigidos por sus resultados; anticipaciones que deben ser llevadas a prueba en la ejecución de experimentos, para resolver en forma definitiva sobre su posibilidad o su imposibilidad. Es en la experimentación donde se comprueba si lo puesto como posibilidad se mantiene a lo largo del desarrollo cognoscitivo del proceso, como una experiencia contingente.
 Contingencia. La contingencia es el momento de la posibilidad superada por su comprobación positiva, en la manifestación de lo existente. Esta manifestación contingente es una posibilidad con respecto a las nuevas pruebas de su existencia.
 Necesidad: La necesidad se abre paso entre una multitud de manifestaciones contingentes y se constituye como una unidad de la posibilidad, de la contingencia y de la contradicción entre ambas. Ahora bien, lo que es necesario, lo es por intermedio de otras conexiones y en las manifestaciones inmediatas y contingentes de la existencia, las que constituyen su condición elemental.

1.4.4 Argumento y Argumentación

Un argumento es una entidad conceptual formada por proposiciones. Una proposición es lo expresado por un enunciado. Un argumento lo expresado por una argumentación. En la medida en que a una misma proposición le pueden corresponder varios enunciado que expresan lo mismo, a un argumento también le pueden corresponder varias argumentaciones.
Una argumentación es, entonces, una pasaje lingüístico formado por enunciados, oraciones declarativas. A un enunciado le corresponde, en el tratamiento clásico, o bien un valor Verdadero o bien un valor Falso. Una argumentación tiene una estructura en la que se distinguen dos partes:

 Un conjunto, eventualmente vacío, de enunciados, a los que denominaremos premisas, y
 Un único enunciado al que denominaremos conclusión

Una Argumentación no siempre está establecida de manera que sea obvia. La relación que se da entre premisas y conclusión es tal que de las premisas se sigue la conclusión. También es cierto que a un enunciado ambiguo puede corresponderle más de una proposición y, por consiguiente, a una argumentación con algún enunciado ambiguo puede corresponderle más de un argumento. Pero, precisamente, desde el punto de vista de la lógica, sería deseable evitar los casos de enunciados ambiguos para argumentar. A continuación algunos ejemplos los cuales son argumentaciones en las cuales se puede reconocer premisas y conclusiones, y también frases que no juegan ninguno de estos papeles y que, por lo tanto, son irrelevantes para la argumentación:

“...todo el mundo admitirá que una fresa o una cereza madura es tan agradable a la vista como al paladar; que el fruto de la fresa o de la cereza, de colores tan llamativos, y los frutos rojos del acebo son cosas hermosas; pero esta belleza sirve simplemente de guía a las aves y a las bestias, para que el fruto pueda ser devorado y las semillas diseminadas por los excrementos. Deduzco que es así del hecho de que hasta ahora no he encontrado excepción alguna a la regla de que las semillas son diseminadas siempre de este modo cuando están encerradas en un fruto de cualquier clase –esto es, dentro de una envoltura pulposa o carnosa-, si tienen un color brillante o se hace visible por ser blanco o negro.”
Charles Darwin en “El Origen de las Especies”.

“En general, se cumple lo siguiente: toda descripción física se reduce a una serie de proposiciones, cada una de las cuales se refiere a la coincidencia espacio-temporal de dos sucesos A y B. Cada una de estas proposiciones se expresa en coordenadas gaussianas mediante la coincidencia de las cuatro coordenadas x1, x2, x3, x4. Por tanto, es cierto que la descripción del continuo espacio-temporal a través de coordenadas gaussianas sustituye totalmente a la descripción con ayuda de un cuerpo de referencia, sin adolecer de los defectos de este último método, pues no está ligado al carácter euclidiano del continuo a representar.”
Albert Einstein en “Sobre la Teoría de la Relatividad Especial y General”.

La siguiente no es una argumentación, sino un enunciado con un determinado valor veritativo:

“Así, pues, cuando tres términos se relacionan entre sí de tal manera que el último esté contenido en el conjunto del término medio y el término medio esté o no esté contenido en el conjunto del término primero, habrá necesariamente un razonamiento perfecto entre los términos extremos”
Aristóteles en “Tratados de Lógica”.

Una argumentación formal se da en un lenguaje formal, de manera que en vez de enunciados de un lenguaje natural contiene fórmulas bien formadas de ese lenguaje formal. Para entender bien el funcionamiento de un lenguaje formal hay que estudiar las dos primeras partes de este manual, de manera que,... paciencia.
Como primera aproximación veamos los siguientes ejemplos en esquemas semiformales: Supongamos que A, B y C son variables de términos generales:

Todo C es B
Algún A no es B
Luego, algún A no es C Algún A es B
Todos los A son C
Luego, algún C es B

1.4.5 Argumento deductivo(válido y no válido)

“Jesús les habló de nuevo, diciendo: ‘Yo soy la luz del mundo. El que me siga, no andará en tinieblas, sino que tendrá la luz de la vida’. Los fariseos le dijeron: ‘Tú justificas de ti mismo; tu testimonio no es verdadero’ ”
Juan, 8:12-14

Una deducción establece que el conjunto de premisas de un argumento dado, o de una argumentación la cual expresa dicho argumento, implica su conclusión. Una deducción se concibe como un sistema dado por tres componentes:

 Las premisas, P.
 La conclusión de un argumento, C.
 Una cadena de enunciados, R, establecidos a modo de pasos intermedios, las cuales presuponen reglas de inferencia; y las cuales demuestran la relación de implicación entre P y C.

Una deducción es un procedimiento epistémico para demostrar la validez de un argumento. Ella contiene un argumento válido en tanto que las proposiciones que componen ese argumento son expresadas por las premisas y la conclusión de la deducción; pero no para todo argumento válido se acierta a desarrollar una deducción, para muchos argumentos válidos ni siguiera se pretende, ni se ha pretendido, ni se pretenderá desarrollar una deducción.

Un argumento deductivo es aquel en el que se pretende, por parte de alguien, que la conclusión se siga necesariamente de las premisas. Todo argumento deductivo es o bien válido o bien no válido. Un argumento deductivo no es verdadero o falso(o ambas cosas. ) En los argumentos deductivos no hay grados intermedios de evaluación: o es válido o es no válido. Un argumento deductivo es válido si la conclusión se sigue necesariamente de las premisas. En este tipo de argumento válido es imposible que su conclusión sea falsa si sus premisas son verdaderas. Los siguientes son argumentos expresados con argumentaciones válidas:

 Existe algo que es la causa de cada cosa. Por lo tanto, todo tiene alguna causa.
 Todo corredor es atleta. Existe un ciego que es corredor. Por lo tanto, existe un ciego que es atleta.
 Todo lo que es bueno es caro. Por lo tanto, si todo es bueno, entonces todo es caro.
 A no ser que le indemnizaran satisfactoriamente, acudiría a los juzgados. Pero no acudió a los juzgados. Luego, le indemnizaron satisfactoriamente.
 Hay vida después de la muerte o no la hay. Si hay vida después de la muerte, entonces los buenos recibirán su premio y los malos su justo castigo. Si no hay otra vida, entonces, dado lo limitado de la justicia terrenal, buenos y malos pasarán a formar parte de la Madre Naturaleza. Por tanto, o los malos reciben su castigo y los buenos su premio, o unos y otros formarán parte de la Madre naturaleza.
 Todos los múltiplos de 16 son múltiplos de 8. Todos los múltiplos de 8 son múltiplos de 4. Todos los múltiplos de 4 son múltiplos de 2. Como 64 es múltiplo de 16 entonces 64 es múltiplo de 2.
 Si alguien come mariscos y si la comida está en malas condiciones, entonces se intoxicará. Juan no se intoxicó con la comida. Luego, si la comida de Juan estaba en malas condiciones, entonces es que Juan no comió mariscos.
 Los mamíferos duermen. Los animales que viven en el mar no duermen. La ballena es un mamífero y vive en el mar. Luego la ballena duerme y la ballena no duerme.
 Todos los perros son gatos. Todos los gatos son felinos. Todos los felinos tienen uñas. Todos los que tienen uñas cazan. Luego todos los perros cazan.
 Todos los que han nacido en Cali han nacido en el Valle del cauca. Todos los que han nacido en el Valle del Cauca han nacido en Colombia. Todos los que han nacido en Colombia han nacido en América. Por lo tanto, como Tania Mazuera ha nacido en Cali, entonces ha nacido en América.

Un Argumento deductivo es no válido cuando la conclusión no se sigue necesariamente de las premisas. Esto también recibe el nombre de falacia o que es un argumento falaz. Se debe tener en cuenta que no todo argumento falaz o falacia es un argumento deductivo. Los siguientes son ejemplos de argumentaciones las cuales expresan argumentos deductivos no válidos:

 Todo tiene alguna causa. Por lo tanto, existe algo que es la causa de todo. (Nota: colóquese en el lugar de un ateo)
 Algunos seres humanos son mujeres y algunos seres humanos son hombres. Por los tanto, algunos seres humanos son hombres y mujeres.
 Algunos niños juegan al fútbol y algunos niños juegan bien al baloncesto. Por lo tanto, algunos niños juegan bien al fútbol y al baloncesto.
 Si 2+2=5, entonces yo soy el papa. Si yo soy el papa entonces llueve de abajo a arriba. Por lo tanto, a menos que el sol salga por el sur y llueva de abajo arriba, yo soy el papa.
 Algunas casas son de piedra y otras muchas están pintadas de blanco. Por lo tanto, algunas casa son de piedra y están pintadas de blanco.
 Todo lo que hay es orgánico o es inorgánico. Por lo tanto, todo lo que hay es orgánico o todo lo que hay es inorgánico.
 Hace sol o no voy al río. Si hace sol, entonces hará calor. Si no voy al río, entonces no hace sol y voy al cine. Por tanto, voy al cine.
 Existen los extraterrestres o hay mucho cuentista suelto. Si existen los extraterrestres, entonces no tenemos ni idea de cómo son. Si hay mucho cuentista suelto, entonces no existen los extraterrestres y hemos de explicar los fenómenos extraños científicamente. Por tanto, hemos de explicar los fenómenos extraños científicamente.
 ¿Fue por error o por deliberada deshonestidad que el gobierno ha desquiciado sin esperanzas la política extranjera? En cualquier caso debe usted votar contra él, a menos que esté a favor de los errores o la deshonestidad.
 Carolina va al cine o se queda en casa. Si va al cine, entonces disfruta de una agradable velada. Si se queda en casa, prepara una buena cena. Por tanto, carolina prepara una buena cena y disfruta de una agradable velada.
 Quién bien te quiere te hará llorar. Los fascistas no te quieren. Luego, los fascistas no te harán llorar.

Un argumento es o bien válido o bien no válido independientemente de lo que se piense, se crea o se sepa acerca del mismo por parte de cualquier sujeto, o agente, cognoscente. La validez de un argumento es de carácter óntico, no de carácter epistémico. Cuando un argumento es válido, es decir, cuando la conclusión se sigue necesariamente de las premisas, se dice que se da una relación de implicación entre premisas y conclusión: las premisas implican la conclusión.
Las preocupaciones ontológicas de la lógica se refieren a la naturaleza de la realidad. Por ejemplo, en la lógica propositiva o booleana se supone que en el mundo hay hechos que se cumplen o no. Estos son de dos tipos: verdaderos o falsos. En la lógica de primer orden, o de predicados, se va más lejos: el mundo está compuesto por objetos que guardan entre si ciertas relaciones que se cumplen y otras que no se cumplen.
Las preocupaciones epistemológicas están relacionadas con los posibles estados de conocimiento a los que puede llegar un agente al utilizar diversos tipos de lógica. Tanto en la lógica propositiva como en la de primer orden, una oración representa un hecho y el agente la considera verdadera, falsa o no sabe qué es. Por lo tanto, estas lógicas tienen tres posibles estados de certidumbre relativos a una determinada oración.

1.4.6 Argumento inductivo (fuerte y débil)

A diferencia de la deducción, el método inductivo va de lo particular a lo general. De la revisión de casos particulares se eleva a establecer la ley o explicación general, del fenómeno observado. Ley esta que valdrá no solo para los casos observados y experimentados, sino para todos los de sus especie.
Todo argumento inductivo es, más o menos, fuerte o, más o menos, débil. En los argumentos inductivos sí se admiten grados, cuya medida cuantitativa es la mayor o menor probabilidad que la conclusión se siga de las premisas. Un argumento inductivo es fuerte si la conclusión se sigue probablemente de las premisas. En este tipo de argumento es improbable que su conclusión sea falsa si sus premisas son verdaderas, pero no es imposible. Los siguientes son ejemplos de argumentaciones que expresan argumentos más o menos fuertes, note en ellos, lo particular que es observado, en general de forma empírica mediante la experimentación, y de esta observación se induce algo más general:

 El informe dado por el servicio de meteorología señala que avanza un frente de baja presión, con formación de un amplio frente de nubes y habitualmente es esas condiciones llueve. Por lo tanto, hoy lloverá. (Este es un argumento inductivo no muy fuerte)
 El 80% de los que fuman más de quince cigarrillos al día acaban teniendo cáncer de pulmón. Por lo tanto, Antonio, que fuma unos veinte cigarrillos al día, terminará teniendo un cáncer de pulmón. (Este es un argumento inductivo no muy fuerte)
 La vida media del radón es de 3.82 días. Por lo tanto, en una muestra de radón con un número alto de átomos de este elemento, cerca de la mitad se desintegrará en 3.82 días. (Argumento inductivo muy fuerte.)
 Todas las esmeraldas encontradas hasta ahora han sido verdes. Por lo tanto, la próxima esmeralda que se localice será verde. (Argumento inductivo fuerte.)

Un argumento inductivo es débil, si la conclusión no se sigue probablemente de las premisas. Es decir, si la probabilidad de que la conclusión se siga de las premisas es escasa. Veamos los siguientes ejemplos:

 La mecánica newtoniana determina satisfactoriamente el tiempo invertido por un cuerpo en caída libre en alcanzar la superficie de la Tierra. La mecánica newtoniana también logra dar cuenta del movimiento de planetas como la Tierra y Júpiter en torno al Sol y de satélites como la Luna en torno a la Tierra. Por lo tanto, la mecánica newtoniana es adecuada para determinar los movimientos de cualquier sistema de objetos materiales. (Argumento inductivo débil. Recuerde la Teoría de la Relatividad, la cual dio al traste con esto)
 Un 60% de nuestra población infantil tiene problemas de caries. En una escuela hay 400 niños. Por lo tanto, 240 de estos niños deben tener problemas de caries. (Argumento inductivo muy débil.)
 Según las encuestas los partidos de la clase gobernante obtendrán en las próximas elecciones un 90% de los votos. Por lo tanto, un 90% de los habitantes de este país votará a los partidos de la clase gobernante en las próximas elecciones. (Argumento inductivo débil.)
 Aunque el dado no estaba cargado, en las diez últimas tiradas que Luis Alejandro Mazuera hizo con él, ha salido un seis siete veces. Por lo tanto, seguro que una de las próximas tres tiradas que haga, con ese dado saldrá un seis. (Argumento inductivo muy débil.)

Con la utilización del método inductivo podemos caer en uno de los siguientes errores o sofismas:

• La falsa generalización. Es el ejemplo típico elemental que se achaca a la inducción en lo sustancial, la cual consiste en una generalización dusosa o falsa por falta de un suficiente número de observaciones. Por ejemplo, aseverar que “la nueva generación está perdida” por el hecho de que existen algunos grupos de irresponsables, malandros, viciosos, etc.
• La falsa causa. Es el error que se comete cuando se toma una mera circunstancia presente como la verdadera causa. Por ejemplo, cuando se atribuye la mala situación del país colombiano a “la descomposición moral de la guerrilla y los paramilitares”.
• El sofisma de la ignorancia. Consiste en inferir la inexistencia de un hecho por el mero desconocimiento de la causa. Por ejemplo, cuando se niega la inexistencia de los fenómenos parapsicológicos, o las supuestas apariciones de OVNIs, por no poder aprehender sus causas.
• La falsa Analogía. Se comete al inducir la aparición de un fenómeno por la existencia de otro no totalmente similar o análogo. Por ejemplo, el 26 de marzo de 1812, cuando un terremoto causa grandes daños materiales y muchísimas pérdidas de vidas en Caracas y en otras poblaciones, la iglesia católica atribuye esto al movimiento independista encabezado por Simón Bolívar, ante esto y en la plaza de San Jacinto, sobre un montón de ruinas, Bolivar lanza su conocida exclamación: "Si se opone la naturaleza a nuestros designios lucharemos contra ella y la haremos que nos obedezca". en, un intento para contrarrestar el desaliento y el terror que se han apoderado de muchos republicanos ante tan tremenda catástrofe y la falsa analogía de la iglesia.
• El falso nexo causal. Consiste, y es muy común, en confundir la causa con el “mero antecedente” o lo que se presenta antes, como cuando se piensa que la causa del trueno es el relámpago por el hecho de que se vio primero.

En este curso estaremos hablando de argumentos deductivos, es decir, desde ahora nos concentraremos en el ámbito de la lógica deductiva. Volveremos con la inducción en el próximo curso de Matemáticas Discretas

1.4.7 Argumento Sólido

Un argumento es sólido cuando es válido y además todas sus premisas son verdaderas. Él ha de tener una conclusión verdadera, ya que no puede ser que un argumento válido tenga premisas verdaderas y conclusión falsa. Las siguientes son argumentaciones que expresan argumentos sólidos:

 Ningún felino es ovíparo. Todo tigre es felino. Por lo tanto, ningún tigre es ovíparo.
 Los mamíferos son vertebrados. Los perros son mamíferos. Luego, los perros son vertebrados.
 Dado un sistema físico aislado, la suma de sus energías permanece constante. Sea A un sistema físico aislado y E su energía total en un instante de tiempo Ti. Por lo tanto, la energía total de A en otro instante de tiempo diferente T2 también es E.

1.4.8 Prueba

Una prueba es una deducción que nos lleva a saber que una proposición es verdadera. Es una deducción cuyas premisas son verdaderas, es decir, una deducción que contiene un argumento sólido. Ella permite demostrar que un determinado argumento es sólido. Puede concebirse como un sistema dado por tres componentes:

 Las premisas verdaderas, P.
 La conclusión de un argumento sólido, C. Que ha de resultar verdadera.
 Una cadena de enunciados, R, establecidos a modo de pasos intermedios, para demostrar la verdad de C.

Aunque toda prueba es una deducción, no toda deducción es una prueba. Una prueba es un procedimiento epistémico para demostrar la verdad de un determinado enunciado, o de la proposición que expresa, de una determinada conclusión. Veamos el siguiente ejemplo:

Premisa 1: Todos los múltiplos de 16 son múltiplos de 8.
Premisa 2: Todos los múltiplos de 8 son múltiplos de 4.
Premisa 3: Todos los múltiplos de 4 son múltiplos de 2.
Conclusión: 64 es múltiplo de 2
Prueba: Dado que todos los múltiplos de 16 son múltiplos de 8 y que todos los múltiplos de 8 son múltiplos de 4, tenemos que 16 es múltiplo de 4. De otro lado dado que todos los múltiplos de 16 son múltiplos de 8 y que todos los todos los múltiplos de 4 son múltiplos de 2, tenemos que todos los múltiplos de 16 son múltiplos de 2. Como 64 es múltiplo de 16, entonces es múltiplo de 2. Luego, 64 es múltiplo de 2.

1.4.9 Contra-argumento

Dado un argumento A, un contra-argumento de A es otro argumento B que tiene la misma estructura lógica relevante que A y en el que las premisas son evidentemente verdaderas y la conclusión evidentemente falsa. Un contra-argumento es un argumento no válido que se utiliza por parte de alguien para mostrar la no validez de otro argumento que tiene su misma estructura lógica relevante para su evaluación, pero en el que no se cumple que todas sus premisas sean evidentemente verdaderas y su conclusión evidentemente falsa. Este es un procedimiento epistémico para demostrar la no validez de un determinado argumento. Este método también es conocido como resolución al absurdo(reductio ad absurdum) y lo utilizaremos en la tercera parte de este curso. La siguiente es una argumentación que expresa contra-argumento correspondiente a argumento:

 Existen planetas fuera del sistema solar o dichos planetas son objetos de ficción. Si existen planetas fuera del sistema solar, entonces el Sol no es la única estrella con astros girando a su alrededor. Si los planetas fuera del sistema solar son objetos de ficción, entonces no existen planetas fuera del sistema solar y la astronomía no podrá descubrirlos. Por lo tanto, la astronomía no puede descubrir planetas fuera del sistema solar.
 Marilyn Monroe se suicidó o fue asesinada. Si se suicidó, murió sin la intervención de otros. Si fue asesinada, entonces murió por la intervención de otros. Por tanto, ella murió sin la intervención de otros y por la intervención de otros.
 A todos los tiburones les gusta la carne. Los perros no son tiburones. Luego, a los perros no les gusta la carne.

1.4.10 Verdad lógica

Un enunciado es lógicamente verdadero, o es una verdad lógica, si es verdadero en virtud de determinada forma lógica e independientemente del significado concreto de sus términos no lógicos. Es un enunciado que siempre es verdadero, independientemente de cómo sea el mundo. Solamente implica otros enunciados lógicamente verdaderos. Un enunciado lógicamente verdadero es implicado por cualquier conjunto de enunciados, en particular se sigue del conjunto vacío de premisas. Los enunciados que siguen son ejemplos de verdades lógicas:

 Si los virus son entidades con vida o son entidades sin vida, entonces los virus son entidades con vida o sin vida.
 Si existe algo que es la causa de todo, entonces todo tiene alguna causa

Una fórmula se dice que es válida si y sólo si es cierta bajo todas sus interpretaciones. Una fórmula se dice que es inválida si y sólo si es no válida. Una fórmula se dice que es consistente (o satisfactible) si y sólo si es no inconsistente.

1.4.11 Falsedad lógica

Decimos que una fórmula es inconsistente (o no satisfactible) si y sólo si es falsa bajo todas sus interpretaciones. Un enunciado es lógicamente falso si es falso en virtud de determinada forma lógica e independientemente del significado concreto de sus términos no lógicos. Un enunciado lógicamente falso es un enunciado que siempre es falso, independientemente de cómo sea el mundo, e implica cualquier otro enunciado. Sólo es implicado por un conjunto de premisas que sea contradictorio; en particular se sigue de cualquier conjunto de premisas que contenga al menos un enunciado lógicamente falso. Ejemplos:

 No es cierto que si dos entidades son idénticas y una de ellas de ellas es una entidad abstracta entonces la otra también sea una entidad abstracta.
 No es cierto que si algún producto es bueno y es barato entonces algún producto es bueno y algún producto es barato.
 En el conjunto de los números reales algunos son entidades abstractas o algunos son entidades mentales, pero no es cierto que algunos números sean entidades reales y no es cierto que algunos sean entidades ficticias.

1.4.12 Tautología

Se dice que un enunciado ú oración es una tautología, o necesariamente verdadera si y sólo si es verdadera en todas las posibles interpretaciones en todos los mundos posibles, con independencia de lo que supuestamente signifique y de lo que esté sucediendo en el universo. Lo anterior implica, y es lo lógico, que este tipo de oraciones nunca son falsas. Toda tautología permanece como tautología cuando una de sus variables es reemplazada con cualquier fórmula lógica arbitraria. Esta propiedad es otro ejemplo del poder de la inferencia, conocida como regla de sustitución. Ejemplos a continuación:

 No es cierto que llueva y no llueva a la vez
 Cali es la capital del Valle del Cauca o no es la capital del Valle del Cauca.
 Suponiendo que si hay cambio de cuarto lunar, entonces hay un mayor número de nacimientos, entonces no es cierto que se produzca cambio lunar y no haya mayor número de nacimientos.

1.4.13 Contradicción

Una contradicción es un enunciado que es lógicamente falso en virtud de la forma lógica determinada por las conectivas lógicas que contiene. La negación de una tautología siempre es una contradicción. Veamos los siguientes ejemplos:

 Llueve y no llueve a la vez.
 Si Bogotá es la capital de Colombia, entonces Bogotá está dentro del territorio colombiano; y si Bogotá está dentro del territorio colombiano, entonces es una ciudad de Sur América; y Bogotá es la capital de Colombia, pero no es una ciudad de Sur América.

1.4.14 Contingencia

Una proposición que puede ser verdadera o falsa, dependiendo de los valores de verdad de sus variables propositivas, se la llama contingencia. Un enunciado contingente es verdadero o falso en virtud del contenido del mismo, de lo que establece sobre el mundo. Ejemplos de enunciados o proposiciones contingentes:

 Cartagena de Indias es una ciudad declarada patrimonio de la humanidad.
 Fidel Castro es Primer Ministro y Presidente del gobierno cubano.
 No es cierto que si los virus son entidades con vida o sin vida, entonces los virus son entidades con vida o sin vida.
 Si todo tiene alguna causa, entonces algo es la causa de todo.
 Si algún producto es bueno y algún producto es barato, entonces algún producto es bueno y es barato.
 Las grandes concentraciones de materia atraen a la energía colindante; y los agujeros negros son concentraciones de materia tan grandes que ninguna energía es emitida desde los mismos al exterior, toda la energía en la vecindad es absorbida.

1.4.15 Paradojas

Muchas de estas paradojas aparecen asociadas a autorreferencia. Son ejemplos las frases "POR FAVOR, NO LEA ESTA FRASE" y "PROHIBIDO PROHIBIR" que sin ser paradojas propiamente se aproximan bastante a un estado paradójico. Una paradoja completa y muy famosa, expuesta por Bertrand Russell en 1918, se refiere al barbero que afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos (y solo a éstos.)¿Se afeita este barbero a sí mismo?" Como vemos el problema es que "si lo hace, no lo hace; y si no lo hace, lo hace". Es clara ahora la circularidad viciosa de las paradojas completas. El primer ejemplo de paradoja completa y, en muchos aspectos el mejor, es la paradoja del mentiroso. Eubúlides, filósofo de Megara del siglo VI a. C. Y sucesor de Euclides, la inventó. En esta paradoja Epiménides el cretense dice: "Todos los cretenses son mentirosos". Si dice la verdad, está mintiendo, y si miente está diciendo la verdad.

1.4.16 Forma Lógica y Expresiones Lógicas

Qué se tome como expresiones lógicas está en función del tipo de argumentos sobre los que se quiere tratar. Es decir, hay argumentos cuya validez o no validez está dependiendo de la forma lógica que determinan en los enunciados componentes de las argumentaciones, correspondientes a esos argumentos, unas pocas expresiones como son: y, o, si...entonces y no, así como aquellas otras expresiones que juegan un papel lógico equivalente a alguna de esas expresiones. A las expresiones y, o, si...entonces y no las llamamos conectivas lógicas. En el caso de otro tipo de argumentos la validez o no-validez depende de la forma lógica que determinan las expresiones antes señaladas junto con las expresiones todo y al menos un. A estas últimas las denominamos cuantificadores. Podemos encontrar otro tipo de argumentos en los que su evaluación dependa de la estructura lógica que determinan junto con las expresiones mencionadas otras como necesariamente y posiblemente. Y así, podríamos ir considerando diferentes expresiones que determinan de manera diferente la forma lógica de los enunciado, según se tomen o no en consideración. A este tipo de expresiones es al que denominamos: expresiones lógicas, o constantes lógicas.
Es normal que las expresiones lógicas de un lenguaje natural como el castellano, de las que depende la validez o no validez de un tipo de argumentos de ese lenguaje, tengan sus correspondientes expresiones lógicas en el lenguaje formal de un sistema lógico formal. De esta forma los principios y criterios que fundamentan la evaluación de un determinado tipo de argumentos son especificables mediante un determinado sistema lógico formal.

1.4.17 Definición de la Lógica

Etimológicamente, la lógica es la ciencia del logos. Originalmente, logos significó palabra o discurso, lo que, por cierto, dio lugar a que en ocasiones se le tomara por ciencia ocupada de ciertas formas del lenguaje. Para la filosofía de los griegos, el logos fue “la palabra de la razón” para entender el mundo; lo cual ya nos permite mejorar la definición de la lógica, y así decimos que es “la ciencia del pensamiento racional”.
No obstante, todavía es una definición general, porque ¿qué es el pensamiento? Por pensamiento se puede entender tanto la actividad mental, psíquica, que lo produce, como también “lo producido”. Yo pienso en un barco de vela; el pensar en él es una actividad mental, y el barco de vela es lo que produjo esa actividad. En otras palabras, pensamiento puede ser tanto el pensar como lo pensado.
La lógica no tiene por objeto esa actividad llamada “pensar”, que corresponde a la psicología. A la lógica le interesa el producto de dicha actividad. Pero a la vez, el pensamiento como producto está constituido por dos elementos: el contenido de ese pensamiento, la materia, y la estructura, forma, que lleva ese pensamiento, para que sea entendible. Si pensamos:

• ¿Estos bananos son de Uraba?
• Estos bananos son de Uraba.
• ¿Compraste bananos de Uraba?
• No encontré bananos de Uraba.

salta a la vista que el contenido, o materia, de los anteriores pensamientos son los bananos de Uraba. Pero el primero está estructurado en forma dubitativa, el segundo en afirmativa, el tercero en interrogativa y el último en negativa.
Pues, bien, a la lógica no le interesa el contenido de los pensamientos, en este caso los bananos, porque no es una enciclopedia del saber, ni podría abarcar tantas y tantas cosas en las que podríamos pensar, sino que le interesa la manera o forma como se estructuran los pensamientos, lo cual mejora su definición, y decimos que es la ciencia de la estructura o forma de los pensamientos.

1.5 Sistemas Lógico Formales

“...la Trama y la urdimbre de todo pensamiento y de toda investigación son los símbolos, y la vida del pensamiento y de la ciencia es la vida inherente a los símbolos; de modo que es erróneo decir simplemente que un lenguaje adecuado es importante para un pensamiento correcto, pues es la misma esencia de éste.”
“...toda obra científica suficientemente grande como para ser recordada durante algunas generaciones brinda algún ejemplo del estado defectuoso del arte de razonar de la época en que fue escrita; y cada paso importante en la ciencia ha sido una lección de lógica”
Charles Sanders Peirce

“Puesto que todos los términos que se definen son definidos mediante otros términos, es evidente que el conocimiento humano debe siempre contentarse con aceptar algunos términos como inteligibles sin definición con el fin de tener un punto de partida para sus definiciones”
Bertrand Russell

1.5.1 Primera Aproximación

Un sistema lógico es un cuerpo teórico el cual consiste en un conjunto de esquemas lógicos, algunos de los cuales se representan como básicos y los demás como derivados, que se toman como criterios de validez de determinado tipo de argumentos.
Un sistema formal S está formado por dos componentes: un lenguaje formal L y un mecanismo deductivo D. Es decir, podemos representar un sistema formal S diciendo que S=. Un lenguaje formal L se identifica mediante el conjunto de sus fbfs. Por lo tanto, si dos lenguajes L y L’ tienen el mismo conjunto de fbfs es que son el mismo lenguaje, L = L’. El conjunto de fbfs de un lenguaje formal L se determina convencionalmente por el creador del lenguaje. Para ello el lenguaje formal L se especifica mediante:

 Un conjunto finito de expresiones o símbolos primitivos. Este conjunto se denomina el vocabulario primitivo de L;
 Un conjunto de reglas de formación, las cuales determinan qué secuencias de expresiones del vocabulario primitivo son fbfs.

Para que un lenguaje sea formal ambos conjuntos han de poder definirse sin recurrir a ninguna indicación de índole semántica. Resulta, pues, que un lenguaje formal es un lenguaje artificial. Ahora bien, no todo lenguaje artificial es un lenguaje formal, ya que un lenguaje puede ser artificial pero no estar exento de interpretación semántica en su definición.
El mecanismo deductivo D de un sistema formal S suele venir dado por dos tipos de componentes, a saber:

 El establecimiento por convención de que ciertas fbfs de L juegan el papel de axiomas de S, o que ciertas expresiones de un metalenguaje de L que representan fbfs de S con determinada forma juegan el papel de esquemas de axiomas de S. Los axiomas son fbfs, los esquemas de axiomas son esquemas de fbfs, que se toman como postulados de partida indiscutibles en un sistema formal.
 El establecimiento por convención de un conjunto de reglas de transformación que permiten pasar de fbfs de L a otra fbf de L en S.

También el mecanismo deductivo de un sistema formal ha de poderse definir sin recurrir a ningún elemento de tipo semántico.
Podemos entonces diferenciar entre dos tipos de sistemas lógico-formales:

 Aquellos cuyo mecanismo deductivo se especifica mediante axiomas y reglas de transformación, que denominamos sistemas axiomáticos. En estos se priman las leyes lógicas, es decir fórmulas bien formadas del lenguaje formal en cuestión que o son axiomas o son deducibles en ese sistema a partir de los axiomas mediante las reglas de transformación de dicho sistema. Los axiomas son los primeros postulados, o primeras leyes lógicas, indiscutibles del sistema. Las leyes lógicas deducibles reciben el nombre de Teoremas.
 Aquellos cuyo mecanismo deductivo se especifica exclusivamente mediante reglas de transformación, que denominamos sistemas de deducción natural. En estos sistemas se prescinde de axiomas. El mecanismo deductivo está dado exclusivamente por un conjunto de reglas básicas de transformación. Estas reglas básicas se clasifican en reglas de introducción y de eliminación, de manera tal que habitualmente para cada constante lógica básica hay una regla de introducción y una de eliminación.


1.5.2 Ejemplos

1. El lenguaje Q se define de la siguiente forma:
Alfabeto: *, #.
Reglas de formación: Cualquier cadena finita de símbolos del alfabeto de Q que satis¬faga las reglas de formación que siguen es una fórmula bien formada, fbf, del lenguaje:

1. * es una fbf de Q.
2. Si A es una fbf de Q, entonces A# es una fbf de Q.
3. Las únicas fbfs de Q son las obtenidas mediante aplicación de las reglas de formación 1 y 2.

Preguntas:
1. ¿Es Q un lenguaje formal? ¿Por qué?
2. ¿Es Q un lenguaje lógico-formal? ¿Por qué?


2. El lenguaje X se define de la siguiente forma:
Alfabeto: @. ®. £. ¥, {, }
Reglas de formación:
1. Toda cadena finita de símbolos del alfabeto de X que incluya los símbolos £. ¥ del alfabeto es una fbf de X.
2. Las únicas fbfs de X son las obtenidas mediante aplicación de la regla de formación 1.

Preguntas:
1. ¿Es X un lenguaje formal? ¿Por qué?
2. Formula cinco fbfs de X.
3. ¿Es ¥ una fbf de X? ¿Por qué?
4. ¿ Es £££££# una fbf de X? ¿Por qué?
5. ¿ Es @®@® una fbf de X? ¿Por qué?
6. Formula tres expresiones que sólo contengan elementos del alfa¬beto de X y no sean fbfs de X.


3.El lenguaje Y se define de la siguiente forma:
Alfabeto: ®, £, #.
Reglas de formación:
1. Toda cadena finita de símbolos del alfabeto deY que dé liÉ gar a una fbf del lenguaje X (del anterior ejercicio) es una fbf deY.
2. Las únicas fbfs de Y son las obtenidas mediante aplicación de la regla de formación 1.

Preguntas:
1. ¿Es Y un lenguaje formal? ¿Por qué?
2. ¿Es £££¥¥¥ una fbf de Y? ¿Por qué?
3. Formula tres fbfs de X que no sean fbfs de Y.


4. Sea E el lenguaje definido de la siguiente forma:
Alfabeto: el cirílico.
Reglas de formación:
1. Todas las palabras del ruso son fbfs del lenguaje E.
2. Las únicas fbfs de E son las obtenidas mediante aplicación de la regla de formación 1.

Pregunta: ¿Es E un lenguaje formal? ¿Por qué?

5. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y por qué.
1. Todas las fbfs del lenguaje X (el definido en 2.) son fbfs del lenguaje Y (el definido en 3).
2. Todas las fbfs del lenguaje Y son fbfs del lenguaje X.
3. No hay ninguna fbf de X que sea una fbf de Y.
4. Algunas de las fbfs de X son fbfs deY.

6. Sea Z el sistema definido de la siguiente forma:
Alfabeto: ¢,§.
Reglas de formación:
1. Toda cadena finita de símbolos del alfabeto de Z que co¬mience por ¢ es una fbf de Z.
2. Las únicas fbfs de Z son las obtenidas mediante aplicación de la regla de formación 1.

Axioma: ¢¢¢§§.

Reglas de transformación:
1. Sean A y B fbfs de Z (eventualmente secuencias vacías de símbolos), los superíndices indicarán el número de ocurrencias del símbolo en cuestión ( §2=§§ ), n es cualquier número impar y m es cualquier número par (se excluye el 0).

B¢§n
_______
¢m§A

2. Las únicas transformaciones aceptables de Z son las obteni¬das mediante aplicación de la regla de transformación 1

Preguntas
1. ¿Es Z un sistema formal? ¿Por qué?
2. ¿Es Z un sistema lógico-formal? ¿Por qué?
3. ¿Es ¢¢§§ una consecuencia inmediata (es decir, que se estable¬ce conforme a una regla de transformación básica) en Z de ¢¢?
4. ¿Es ¢¢¢¢§ una consecuencia inmediata en Z de ¢§?
5. ¿Es ¢¢¢¢¢¢ una consecuencia inmediata en Z de ¢¢§§§?
6. ¿Es ¢¢¢¢¢¢ una consecuencia inmediata en Z de §§§?
7. ¿Es ¢¢¢¢¢¢§¢¢§§¢¢§§ un teorema de Z?
8. ¿Cuáles son las consecuencias inmediatas de ¢¢¢¢?
9. ¿De qué fórmulas es consecuencia inmediata ¢?
10. Escribe tres teoremas de Z.

7. “Sean A y B fbfs cualesquiera de un lenguaje formal L”. Expli¬ca la función de las letras “A” y “B” en ese enunciado.


1.6 Ejercicios para Realizar Colaboratívamente

“En verdad, no es la menor de las tareas del lógico indicar las trampas que pone el lenguaje en el camino del pensador”
Gottlob Frege

1. En uno de los dos epígrafes del prefacio de este manual, el de Howard Gardner en su libro “La Nueva Ciencia de la Mente”, menciona a los más importantes lógicos de los siglos XIX y XX. Consiga breves biografías de cada uno de ellos.

2. En la sección “Argumento deductivo(válido y no válido)”se explica que “Un Argumento deductivo es no válido cuando la conclusión no se sigue necesariamente de las premisas. Esto también recibe el nombre de falacia o que es un argumento falaz. Se debe tener en cuenta que no todo argumento falaz o falacia es un argumento deductivo. Los siguientes son ejemplos de argumentaciones las cuales expresan argumentos deductivos no válidos: ” Explique cada uno de estos ejemplos, tenga en cuenta que a veces el sentido común nos juega malas pasadas, en si, ¿por qué no son válidos?

3. A renglón seguido de lo anterior, sección “Argumento deductivo(válido y no válido)”, se dice “Un argumento es o bien válido o bien no válido independientemente de lo que se piense, se crea o se sepa acerca del mismo por parte de cualquier sujeto cognoscente. La validez de un argumento es de carácter óntico, no de carácter epistémico. Cuando un argumento es válido, es decir, cuando la conclusión se sigue necesariamente de las premisas, se dice que se da una relación de implicación entre premisas y conclusión: las premisas implican la conclusión.” Explique lo que se quiere dar a entender con “La validez de un argumento es de carácter óntico, no de carácter epistémico.”

4. De 5 ejemplos de argumentos, algunos inductivos fuertes y otros débiles. Ver sección “Argumento inductivo (fuerte y débil)”.

5. Siguiendo la línea de la paradoja del mentiroso, mencionada en la sección: “1.6.6 Paradojas”, de respuesta al siguiente problema: Suponga que el Pastorcito Mentiroso llegó, al morirse comido por el lobo, al purgatorio, claro debido a sus mentiras. En este desconocido lugar, se le presenta la oportunidad de salir por una puerta hacia el cielo y por otra hacia el infierno. Pero las ánimas, compañeras de nuestro protagonista(y el mismo), no saben cuál es cual. En cada una de las puertas se encuentra un centinela(ángel o demonio, no me lo aclararon.) Se sabe que uno de ellos siempre dice mentiras y el otro siempre dice la verdad, pero no saben cual es cual(esto solo lo saben los que han cruzado una de las puertas, pero ya es tarde para contarle a los que quedan). Cada centinela solo está autorizado a contestar Verdadero o Falso, sin ningún otro comentario a alguna pregunta. ¿Qué pregunta o preguntas deberían hacérsele a uno solo de los centinelas para estar seguros de que la puerta en donde se encuentra es la correcta? ¿Podría ser una única pregunta(con conjunciones, claro)?

6. En las argumentaciones citadas de Charles Darwin y Albert.Einstein, separe las premisas y la conclusión

7. En las argumentaciones dadas en “1.4.5 Argumento deductivo(válido y no válido)” separe también en premisas y en conclusiones.

8. Al final de “1.4.4 Argumento y Argumentación” se dan unos esquemas,.póngales sentido común y represéntelos como conjuntos en Diagramas de Venn.





9. En “1.4.5 Argumento deductivo(válido y no válido)” hay un epígrafe referente al maestro Jesús: “Otra vez pues, Jesús les habló diciendo: ‘Yo soy la luz del mundo. El que me sigue no andará en tinieblas, mas tendrá la luz de la vida’. Le dijeron, entonces, los fariseos: ‘Tú das testimonio de ti mismo; tu testimonio no es fehaciente’. “ el cual se encuentra en Juan, 8:12-14 de la Biblia. Con gran respeto y tolerancia conteste si con las argumentaciones que el maestro Jesús le daba a los fariseos, estos podrían deducir una conclusión válida o inválida. Lease primero todo el pasaje en Juan 8:12 al 30 del Nuevo Testamento.(No confundirse con las “Cartas de Juan” al buscarlo)

10. Estudie todo este primer capítulo y discútalo con sus compañeros. No pretenda aprenderse nada de memoria. No se angustie, bueno es un decir, creo es inevitable. Lo malo es que no le produzca esa angustia, sería signo de que no está preocupado adecuadamente por sus estudios universitarios. Siempre tiene que haber angustia, al inicio de cualquier cosa nueva que nos enfrentemos. Y luego, cuando ya comprendemos, viene la felicidad. La felicidad no le llegará, en cualquier cosa, con mayor razón en el amor, si no está dispuesto a afrontarla. Les recomiendo se lean “El Elogio a la Dificultad” de Estanislao Zuleta, en mi página encontrarán un hipervínculo al mismo. No tiene que entregar por escrito esta pregunta.

























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